Question

（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）
①若曲线C1：θ=

π

6

（ρ∈R）与曲线C2：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

(θ为参数，a为常数，a＞0）有两个交点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为

2

．
②已知a²+2b²+3c²=6，若存在实数a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，则实数x的取值范围为

{x|-7＜x＜5}

．

Answer 1

分析：①曲线C1：θ=

π

6

（ρ∈R）是过极点倾斜角为

π

6

的射线，所在直线的方程是y=

3

3

x，曲线C2：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

(θ为参数，a为常数，a＞0）是圆心为（a，0），半径为

2

的圆，由|AB|=2，得

| 3 a-3×0|

3+9

=1，由此能求出a．
②因为已知a、b、c是实数，且a²+2b²+3c²=6根据柯西不等式得到|a+2b+3c|≤6，a+2b+3c的最大值为6，a+2b+3c的最小值为-6．所以使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的条件是|x+1|＜6，由此能求出x的范围．

解答：解：①∵曲线C1：θ=

π

6

（ρ∈R）是过极点（0，0）且倾斜角为

π

6

的直线，
∴曲线C₁所在直线的方程是y=

3

3

x，
∵曲线C2：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

(θ为参数，a为常数，a＞0）是圆心为（a，0），半径为

2

的圆，
∴由|AB|=2，得圆心（a，0）到曲线C₁y=

3

3

x的距离d=

2-1

=1，
由点到直线的距离公式，得

| 3 a-3×0|

3+9

=1，
解得a=±2．
∵a＞0，
∴a=2．
故答案为：2．
②因为已知a、b、c是实数，且a²+2b²+3c²=6
根据柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+2b²+3c²）（1²+(

2

) 2+（

3

）²）≥（a+2b+3c）²
故（a+2b+3c）²≤36，即|a+2b+3c|≤6，
即a+2b+3c的最大值为6，a+2b+3c的最小值为-6；
∴使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的条件是|x+1|＜6，
解得{x|-7＜x＜5}．
故答案为：{x|-7＜x＜5}．

点评：第①题考查简单曲线的极坐标方程，是基础题．解题时要认真审题，注意点到直线 的距离公式的灵活运用．
第②题考查一般形式的柯西不等式的应用，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的解法．