Question

已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA•tanC=2+

3

，又知顶点C的对边c上的高等于4

3

，求△ABC的三边a、b、c及三内角．

Answer 1

分析：先求得B=60°，再由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，以及tanA•tanC=2+

3

，求得tanA+tanC的值，从而求得tanA和tanC的值，进而求得A、C的值，由边c上的高等于4

3

求得a，
再由正弦定理求得b、c的值．

解答：解：由A、B、C成等差数列，可得B=60°，
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得 tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=

3

（1+

3

）．
设tanA、tanC是方程x²-（

3

+3）x+2+

3

=0的两根，解得x₁=1，x₂=2+

3

．
设A＜C，则tanA=1，tanC=2+

3

，∴A=

π

4

，C=

5π

12

．
∵边c上的高等于4

3

，∴sinB=

4 3

a

，∴a=8．
由此利用正弦定理求得b=4

6

，c=4

3

+4．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直角三角形中的边角关系，正弦定理的应用，属于中档题．