Question

设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_f，D_g，且Df

?

≠

Dg，若?x∈D_f，g（x）=f（x），则函数g（x）为f（x）在D_g上的一个延拓函数．已知f（x）=2^x（x＜0），g（x）是f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）=

 

．

Answer 1

分析：由拖延函数的定义得x＜0时，g（x）=f（x），x＞0时求出g（-x）的解析式，再利用奇函数的定义，求出g（x）的解析式，
由奇函数的顶堤可得g（0）=0，g（x）在R上的解析式可得．

解答：解：由题意得 x＜0时，g（x）=f（x）=2^x，当 x＞0时，则-x＜0，
g（-x）=f（-x）=2^-x=-g（x），∴g（x）=-2^-x．又由g（x）是奇函数知，
g（0）=0，∴g（x）=

2x  (x＜0) 0     (x=0) -2-x (x＞0)

，
故答案为：

2x  (x＜0) 0     (x=0) -2-x (x＞0)

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点评：本题考查奇函数的定义和性质的应用，求函数的解析式的方法，体现了分类讨论的数学思想．