Question

若非零不共线向量

a

、

.

b

满足|

a

-

.

b

|=|

.

b

|，则下列结论正确的个数是

3

．
①向量

a

、

.

b

的夹角恒为锐角；  ②2|

.

b

|²＞

a

•

.

b

；  ③|2

.

b

|＞|

a

-2

.

b

|；  ④|2

a

|＜|2

a

-

.

b

|．

Answer 1

分析：对于①，利用已知条件，推出向量

a

、

.

b

、

a

-

b

组成的三角形是等腰三角形，判定正误即可．
对于②，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误． 对于③，通过平方以及向量的数量积判断正误．
对于④，|2

a

|＜|2

a

-

.

b

|等价于 4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|，不一定成立，说明正误即可．

解答：解：∵非零不共线向量

a

、

.

b

满足|

a

-

.

b

|=|

.

b

|，∴向量

a

、

.

b

、

a

-

b

 组成的三角形是等腰三角形，
且向量

a

为底边，故向量

a

、

.

b

的夹角恒为锐角，①正确．
②2|

.

b

|²＞

a

•

.

b

 等价于2|

.

b

|²＞|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞，等价于2|

b

|＞|

a

|•cos＜

a

，

b

＞．
而由|

a

-

.

b

|=|

.

b

|可得|

a

-

.

b

|+|

.

b

|=2|

.

b

|＞|

a

|＞|

a

|•cos＜

a

，

b

＞，即 2|

b

|＞|

a

|•cos＜

a

，

b

＞成立，
故②正确．
③|2

.

b

|＞|

a

-2

.

b

|等价于 4

b

2＞

a

2-4

a

•

b

+4

b

2，等价于 4

a

•

b

＞

a

2，
等价于 4|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞

a

2，等价于  4|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|．
而 2|

b

|cos＜

a

，

b

＞=|

a

|，∴4|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|成立，故正确．
④|2

a

|＜|2

a

-

.

b

|等价于 4

a

2＜4

a

2-4

a

•

b

+

b

2，等价于 4

a

•

b

＜

b

2，
等价于 4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|，不一定成立，所以④不正确．
故答案为 3．

点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，属于中档题．