Question

15．当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x²+…+xⁿ+…=$\frac{1}{1-x}$；
两边同时积分得：${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$1dx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xdx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$x²dx+…${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xⁿdx+…=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{1-x}$dx；
从而得到如下等式：1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）³+…$\frac{1}{n+1}$×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹+…=ln2；
请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：C${\;}_{1}^{0}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$×（$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）³+…$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{n+1}[（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$．

Answer 1

分析 根据二项式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．

解答 解：二项式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，
对C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ
两边同时积分得：${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$C_n⁰dx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$C_n¹xdx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$C_n²x²dx+…+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$C_nⁿxⁿdx=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$（1+x）ⁿdx
从而得到如下等式：${C}_{n}^{0}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$×（$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）³+…$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{n+1}[（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$
故答案为：$\frac{1}{n+1}[（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．