Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0．且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的b₁，b₂，b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{C_n}对任意自然数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer 1

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1，
又b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴q=3，bn=3•3n-1=3n；
（2）

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，即

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn

3n

=2n+1①，
则n≥2时，

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn-1

3n-1

=2n-1②，
①-②得，

Cn

3n

=2，所以Cn=2•3n（n≥2），
n=1时，C₁=9，
所以Cn=

2•3n，n≥2 9，n=1

，
所以c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=9+2•3²+2•3³+…+2•3²⁰¹³
=9+2•

32(1-32012)

1-3

=3²⁰¹⁴；