Question

已知函数y=f（x）的图象与h(x)=

1

2

(x+

1

x

)+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）若g(x)=f(x)+

a

2x

且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设点P（x，y）为y=f（x）图象的任意一点，则点P（x，y）关于点A（0，1）的对称点一定落在h（x）的图象上，代入解析式可求得；
（2）由（1）可得g（x）的解析式，把g（x）在区间（0，2]上为减函数转化为其导函数小于等于0，分离出a，然后只需求出函数x²-1在x∈（0，2]上的最大值即可．

解答：解：（1）设点P（x，y）为函数y=f（x）图象的任意一点，则点P（x，y）关于点A（0，1）的对称点
P′（-x，2-y）一定在h(x)=

1

2

(x+

1

x

)+2的图象上，则有2-y=

1

2

(-x-

1

x

)+2，
变形得，y=

1

2

x+

1

2x

，
即函数y=f（x）的解析式为：f（x）=

1

2

x+

1

2x

．
（2）由（1）知：g(x)=f(x)+

a

2x

=

1

2

x+

1+a

2x

，在区间（0，2]上为减函数可得
g′（x）=

1

2

-

1+a

2x2

≤0在x∈（0，2]上恒成立，即a≥x²-1恒成立，
故只需a≥（x²-1）_max=4，
故实数a的取值范围为：a≥4

点评：本题考查函数在对称区间的解析式的求解，以及恒成立问题，转化的思想是解决问题的关键，属基础题．