Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+

3

y=0垂直，且C的一个焦点到l的距离为2，则C的标准方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用两直线垂直的条件可得渐近线方程，再由点到直线的距离公式，可得c=4，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而双曲线的方程．

解答： 解：由于双曲线的一条渐近线与直线l：x+

3

y=0垂直，
则这条渐近线方程为y=

3

x，
另一条即为y=-

3

x，
设双曲线的一个焦点为（c，0），
则

|c|

1+3

=2，即c=4，
由双曲线的渐近线方程可得

b

a

=

3

，
a²+b²=c²，
解得a=2，b=2

3

．
则双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．
故答案为：

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线垂直的条件，考查点到直线的距离公式，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．