Question

如果x∈（-

π

2

，0）时总有k（x+

π

2

）＞cosx成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、[1，+∞）
• C、(

  2

  π

  ，+∞)
• D、[

  2

  π

  ，+∞)

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：先设t=x+

π

2

∈（0，

π

2

），得到k＞

sin(x+ π 2 )

x+ π 2

=

sint

t

，设f（t）=

sint

t

，利用导数，判断函数f（t）为减函数，再根据根据罗必达法则求得

lim

t→0

sint

t

=1，问题得以解决．

解答： 解：x∈（-

π

2

，0）令t=x+

π

2

∈（0，

π

2

），
∴cosx=sin（x+

π

2

）∈（0，1），
∵k（x+

π

2

）＞cosx，
即k＞

sin(x+ π 2 )

x+ π 2

=

sint

t

，
设f（t）=

sint

t

，
∴f′（t）=

tcost-sint

t2

，
令g（t）=tcost-sint，
∴g′（t）=cost-tsint-cost=-tsint，
∵t=x+

π

2

∈（0，

π

2

），
∴g′（t）＜0，
∴g（t）为减函数，
∴g（t）＜g（0）=0，
∴f′（t）＜0，
∴函数f（t）为减函数，
∴根据罗必达法则得对f（t）=

sint

t

分子求导为cosx，分母求导为1，
∴

cos0

1

=1，
∴

lim

t→0

sint

t

=1，
∴f（t）＜f（0）=1，
∴k≥1，
即k∈[1，+∞），
故选：B．

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性的关系，以及参数的取值范围，关键是求出得

lim

t→0

sint

t

=1，属于难题．