Question

若函数f（x）=2sin（ωx+φ）+m，对任意实数t，都有f(

π

8

+t)=f(

π

8

-t)，且f(

π

8

)=-3，则实数m的值等于

-5或-1

．

Answer 1

分析：由题意可得可知x=

π

8

是该函数的一条对称轴，sin（ω

π

8

+φ）=1或-1．再由由f(

π

8

)=-3可得 2sin（ω

π

8

+φ）+m=-3，从而得到2+m=-3 或-2+m=-3，由此求得实数m的值．

解答：解：由f(

π

8

+t)=f(

π

8

-t)可知x=

π

8

是该函数的一条对称轴，
故当x=

π

8

时，sin（ωx+φ）=1或-1，即sin（ω

π

8

+φ）=1或-1．
  又由f(

π

8

)=-3可得 2sin（ω

π

8

+φ）+m=-3，
∴2+m=-3 或-2+m=-3，∴m=-5或-1．
故答案为-5或-1．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，正弦函数的对称性，得到2+m=-3 或-2+m=-3，是解题的关键，属于中档题．