Question

已知抛物线C：y²=2x，O为坐标原点，经过点M（2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，P为抛物线C上一点．
（Ⅰ）若直线l垂直于x轴，求|﹣|的值；
（Ⅱ）求三角形OAB的面积S的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）2;（Ⅱ）[4，+∞）

解析试题分析：（Ⅰ）若直线l垂直于x轴,交抛物线于（2，2）或（2，-2）不妨设A（2，2），B（2，﹣2），P（，t），利用斜率计算公式求得|﹣|=2;（Ⅱ）设l：x=ky+2，代入y²=2x中，可得y²﹣2ky﹣4=0
利用弦长公式求得|AB|=•，三角形OAB的面积S=•••=2≥4，三角形OAB的面积S的取值范围为[4，+∞）.
试题解析：（Ⅰ）不妨设A（2，2），B（2，﹣2），P（，t），则
|﹣|=|﹣|=2；
（Ⅱ）设l：x=ky+2，代入y²=2x中，可得y²﹣2ky﹣4=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2k，y₁y₂=﹣4，
∴|AB|=•，
∴三角形OAB的面积S=•••=2≥4，
∴三角形OAB的面积S的取值范围为[4，+∞）．
考点：1.直线的斜率；2.韦达定理与弦长公式；3.直线与抛物线的位置关系