Question

【题目】某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：

ξ1	110	120	170
P	m	0.4	n

且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：

X	0	1	2
ξ2	41.2	117.6	204.0

（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求ξ2的分布列；
（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ， 解得m=0.5，n=0.1．
（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，
P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p），
，
P（ξ2=204）=p（1﹣p），
所以ξ2的分布列为：

ξ2	41.2	117.6	204
P	p（1﹣p）	p2+（1﹣p）2	p（1﹣p）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ，
由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，
所以E（ξ2）＞E（ξ1），
所以﹣10p2+10p+117.6＞120，
解得0.4＜p＜0.6，所以p的取值范围是（0.4，0.6）
【解析】（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列及数学期望的性质列出方程组，能求出m，n的值．（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ2的分布列．（Ⅲ）求出可得E（ξ2），由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，从而E（ξ2）＞E（ξ1），由此能求出p的取值范围．
【考点精析】掌握离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．