Question

11．在△ABC中，若三内角成等差数列（A＜B＜C），且3sinA、sinB、sinC成等比数列，求△ABC三内角的度数．

Answer 1

分析 先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin²B=3sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．

解答 解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，
∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；
又3sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴sin²B=3sinA•sinC=$\frac{3}{4}$，解得：sinAsinC=$\frac{1}{4}$，②
由①②得：sinA•sin（120°-A）
=sinA•（sin120°cosA-cos120°sinA）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2A}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2A-30°）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴sin（2A-30°）=0，又0°＜∠A＜120°
∴∠A=15°或105°（舍去）．
∴∠C=180°-A-B=105°．

点评 本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．