Question

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x₁=arcsina，x₂=π-arcsina
当x∈[0，x₁]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[x₁，x₂]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减
当x∈[x₂，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[0，arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina，π]时，单调递减；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤．
令g（x）=sinx-（0≤x），则g′（x）=cosx-
当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0
∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），
当a≤时，有
①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②当时，=1+≤1+sinx
综上，a≤．
分析：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx-（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．