Question

17．函数f（x）=ax³-x+1在x∈（-∞，+∞）内是减函数，则（　　）

• A． a≥0
• B． a≤0
• C． a＜0
• D． a≤-1

Answer 1

分析 求导数，得f'（x）=3ax²-1．由题意f'（x）≤0在（-∞，+∞）内恒成立，即不等式3ax²≤1在（-∞，+∞）内恒成立，因此对a的正负加以讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：求导数，得f'（x）=3ax²-1，
∵f（x）=ax³-x+1在（-∞，+∞）内是减函数，
∴f'（x）≤0在-∞，+∞）内恒成立，
即3ax²-1≤0在（-∞，+∞）内恒成立，变形得3ax²≤1，
当a＞0时，3ax²没有最大值，3ax²≤1不能恒成立，
当a≤0时，3ax²≤0，可得3ax²≤1恒成立，
因此实数a的取值范围是（-∞，0]，
故选：B．

点评 本题给出三次多项式函数在R上为减函数，求参数a的范围．着重考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．