【题目】若无穷数列满足:只要
,必有
,则称
具有性质
.
(1)若具有性质
,且
,
,求
;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列
是公比为正数的等比数列,
,
,
判断
是否具有性质
,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知
.求证:“对任意
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
【答案】(1).(2)
不具有性质
.(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据已知条件,得到,结合
求解即可.
(2)根据的公差为
,
的公比为
,写出通项公式,从而可得
.
通过计算,
,
,
,即知
不具有性质
.
(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明.
试题解析:(1)因为,所以
,
,
.
于是,又因为
,解得
.
(2)的公差为
,
的公比为
,
所以,
.
.
,但
,
,
,
所以不具有性质
.
[证](3)充分性:
当为常数列时,
.
对任意给定的,只要
,则由
,必有
.
充分性得证.
必要性:
用反证法证明.假设不是常数列,则存在
,
使得,而
.
下面证明存在满足的
,使得
,但
.
设,取
,使得
,则
,
,故存在
使得
.
取,因为
(
),所以
,
依此类推,得.
但,即
.
所以不具有性质
,矛盾.
必要性得证.
综上,“对任意,
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
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【题目】已知矩阵将直线l:x+y-1=0变换成直线l′.
(1)求直线l′的方程;
(2)判断矩阵A是否可逆?若可逆,求出矩阵A的逆矩阵A-1;若不可逆,请说明理由.
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【题目】如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,
,侧棱
,点
分别为棱
的中点,
的重心为
,直线
垂直于平面
.
(1)求证:直线平面
;
(2)求二面角的余弦.
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【题目】已知函数.
(1)将函数的图像(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的
倍,再把整个图像向左平移
个单位长度得到
的图像.当
时,求函数
的值域;
(2)若函数在
内是减函数,求
的取值范围.
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【题目】如图是函数在区间
上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=sinx的图象
A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
B. 向左平移至个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
D. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
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【题目】如图是函数在区间
上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=sinx的图象
A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
B. 向左平移至个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
D. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
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【题目】如图,在直角坐标系中,椭圆
:
的上焦点为
,椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆的上顶点
的直线
与椭圆
交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线
的方程.
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【题目】如图,已知四棱锥的底面的菱形,
,点E是BC边的中点,AC和DE交于点O,PO
;
(1)求证: ;
(2) 求二面角P-AD-C的大小。
(3)在(2)的条件下,求异面直线PB与DE所成角的余弦值。
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