Question

命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）将a=1代入，求出命题p为真时，x的范围；进而解不等式组求命题q为真时，x的范围，由p∧q为真，两个命题均为真，构造不等式组，即可得到实数x的取值范围；
（Ⅱ）¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，且¬q?¬p，根据（I）中结论，构造关于a的不等式，解得实数a的取值范围
解答：解：（Ⅰ）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（2分）
由
得
解得2＜x≤3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分）
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是（2，3）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a，
则¬p：x≤a或x≥3a，（8分）
q：2＜x≤3，则¬q：x≤2或x＞3，（10分）
¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，且¬q?¬p，
∴
解得1＜a≤2，
故实数a的取值范围是（1，2]．（12分）
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，充要条件，其中根据复合命题的真值表及充要条件的定义，将问题转化为不等式组，或集合关系问题是解答的关键．