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7.定义域为R的偶函数f(x)满足对?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18.若函数y=f(x)-loga(|x|+1)在R上至少有四个零点,则a的取值范围是0<a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

分析 可证偶函数f(x)的周期为2,可作出函数的图象,数形结合可得.

解答 解:∵f(x+2)=f(x)-f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数,
令x=-1可得f(-1+2)=f(-1)-f(1),
由f(-1)=f(1)可得f(1)=0,
∴f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的偶函数,
当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2
图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线,
∵函数y=f(x)-loga(|x|+1)在R上至少有四个零点,
∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得a<1,
要使函数y=f(x)-loga(|x|+1)在R上至少有四个零点,
令g(x)=loga(|x|+1),则需g(2)≥f(2),
代值可得loga(2+1)≥f(2)=-2,
∴可得loga3≥-2,∴3≤$\frac{1}{{a}^{2}}$,解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
又∵a>0,∴0<a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故答案为:0<a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查函数的零点和周期性,涉及数形结合的方法,属中档题.

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