Question

为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%．
（1）以2010年为第一年，设第n年出口量为a_n吨，试求a_n的表达式；
（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.9¹⁰≈0.35．

Answer 1

分析：（1）由该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%．知每年的出口量构成等比数列，且首项a₁=a，公比q=1-10%=0.9，根据等比数列的通项公式即可求得a_n的表达式；
（2）10年出口总量是由（1）得到的等比数列求前10项和，代入等比数列求和公式即可求得，再根据国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，解不等式S₁₀≤80，可求得2010年最多出口多少吨．

解答：解：（1）由题意知每年的出口量构成等比数列，
且首项a₁=a，公比q=1-10%=0.9，
∴a_n=a•0.9^n-1．
（2）10年出口总量
S₁₀=

a(1-0.910)

1-0.9

=10a（1-0.9¹⁰）．
∵S₁₀≤80，∴10a（1-0.9¹⁰）≤80，
即a≤

8

1-0.910

，∴a≤12.3．
故2010年最多出口12.3吨．

点评：此题是个中档题．考查根据实际问题抽象数列模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力．