Question

（2011•万州区一模）设有两个命题：p：不等式(

1

3

)x+4＞m＞2x-x2对一切实数x恒成立；q：f（x）=-（7-2m）x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是

（1，

7

2

）

．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q为真命题成立的等价条件，再求出p且q为真命题的取值范围，即为确定实数m的取值范围．

解答：解：∵对一切实数x，(

1

3

)x+4＞4，2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
要使不等式(

1

3

)x+4＞m＞2x-x2对一切实数x恒成立，
则1＜m＜4，即p：1＜m＜4．
由于f（x）=-（7-2m）x是R上的减函数，
则7-2m＞0，即2m＜7，解得m＜

7

2

，即q：m＜

7

2

．
要使p且q为真，
则p，q同时为真，
即

1＜m＜4 m＜ 7 2

，解得1＜m＜

7

2

．
即实数m的取值范围是（1，

7

2

）．
故答案为：（1，

7

2

）．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．