Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，与曲线C：ρ=

2

交于A，B两点，已知|AB|≥

6

．
（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）若动点P（a，b）在曲线C围城的区域内运动，求点P所表示的面积．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,轨迹方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，展开并把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；曲线C：ρ=

2

化为ρ²=2，利用ρ²=x²+y²即可得出．
（2）圆心O到直线l的距离d=

|a-b|

2

，利用弦长公式|AB|=2

r2-d2

≥

6

，化为（a-b）²≤2．可得a，b满足

|a|≤ 2 |b|≤ 2 a2+b2≤2

，及其-

2

≤b-a≤

2

．结合图形即可得出．

解答： 解：（1）直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，展开为

1

2

ρcosθ+

3

2

ρsinθ=

a-b

2

，∴x+

3

y=a-b．
曲线C：ρ=

2

化为x²+y²=2．
（2）圆心O到直线l的距离d=

|a-b|

2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

2- (a-b)2 4

=

8-(a-b)2

≥

6

，化为（a-b）²≤2．
a，b满足

|a|≤ 2 |b|≤ 2 a2+b2≤2

，及其-

2

≤b-a≤

2

．
∴点P所表示的面积S=π×(

2

)2-2×[

1

4

×π×(

2

)2-

1

2

×(

2

)2]
=π+2．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、线性规划问题、圆的面积计算、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．