Question

对于实数a和b，定义运算“*”a*b=

a2-ab，a＜b b2-ab，a＞b

设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[0，

  1

  4

  ]
• B．[0，

  1

  16

  ]
• C．（0，

  1

  4

  ]∪（1，+∞）
• D．（0，

  1

  4

  ）

Answer 1

分析：由新定义写出分段函数f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2x2-x，x＜0 -x2+x，x＞0

，然后作出分段函数的图象，关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根，是指函数y=f（x）的图象与y=a的图象有3个不同的交点，数形结合可求实数a的取值范围．

解答：解：由2x-1＜x-1得，x＜0．
由定义运算a*b=

a2-ab，a＜b b2-ab，a＞b

，
则f（x）=（2x-1）*（x-1）=

(2x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＜0 (x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＞0

=

2x2-x，x＜0 -x2+x，x＞0

函数f（x）=-x²+x （x＞0）的最大值是-(

1

2

)2+

1

2

=

1

4

．
函数f（x）的图象如图，

由图象看出，关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根的实数a的取值范围是（0，

1

4

）．
故选D．

点评：本题考查了函数零点的判断，考查了分段函数的图象，考查了数学转化思想和数形结合思想，判断一个方程根的个数，可以转化为判断两个函数图象交点的个数，是中档题．