Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数h（x）的解析式，因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解，求出a的取值范围；
（Ⅱ）先利用导数分别表示出函数在C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线，结合过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，建立关系式，通过反证法进行证明即可．

解答：解：（Ⅰ）b=2时，h（x）=lnx-

1

2

ax²-2x，
则h′（x）=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

．
因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解．
又因为x＞0时，则ax²+2x-1＞0有x＞0的解．
①当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，ax²+2x-1＞0总有x＞0的解；
②当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而ax²+2x-1＞0总有x＞0的解；
则△=4+4a≥0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此时，-1≤a＜0．
综上所述，a的取值范围为[-1，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
则点M、N的横坐标为x=

x1+x2

2

，
C₁在点M处的切线斜率为k₁=

1

x

，x=

x1+x2

2

，k₁=

2

x1+x2

，
C₂在点N处的切线斜率为k₂=ax+b，x=

x1+x2

2

，k₂=

a(x1+x2)

2

+b．
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，
则

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）
=

a

2

（x₂²+bx₂）-（

a

2

x12+bx₁）
=y₂-y₁
=lnx₂-lnx₁．
所以ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．设t=

x2

x1

，则lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令r（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．则r′t=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
则lnt＞

2(t-1)

1+t

．这与①矛盾，假设不成立．
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评：本题考查了函数单调性的应用，以及利用导数研究曲线上某点处的切线问题，属于难题．