Question

18．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∉R．
（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值，最小值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后求解周期以及最值．
（2）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
函数的周期为：T=$\frac{2π}{2}=π$，
最大值为：0，最小值为-2．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
函数f（x）的单调递增区间：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．