Question

1．已知函数f（x）=|x+1|-|x-a|
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为6，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，化简函数的解析式，去掉绝对值符号，即可求不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式推出f（x）的最大值为6的方程，即可求a的值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|-|x-1|
当x＜-1时，f（x）=-x-1+x-1=-2＜1恒成立
当-1≤x≤1，f（x）=x+1+x-1=2x＜1，$x＜\frac{1}{2}$
当x＞1，f（x）=x+1-x+1=2＜1，无解
不等式f（x）=|x+1|-|x-1|＜1的解集是$\left\{{x|x＜\frac{1}{2}}\right\}$…（5分）
（Ⅱ）f（x）=|x+1|-|x-a|≤|（x+1）-（x-a）|=|1+a|
则|1+a|=6，所以a=5或a=-7…（10分）

点评 本题考查函数的最值的求法，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．