解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为x
2+y
2=b
2,
∵直线x-y+2=0与圆相切,
∴
,
即
,
又
,
即
,
a
2=b
2+c
2,
解得
,c=1,
所以椭圆方程为
.
(Ⅱ)设P(x
0,y
0)(y
0≠0),
,
,
则
,即
,
则
,
,
即
,
∴k
1•k
2为定值
.
(Ⅲ)设M(x,y),其中
.
由已知
及点P在椭圆C上可得
,
整理得(3λ
2-1)x
2+3λ
2y
2=6,其中
.
①当
时,化简得y
2=6,
所以点M的轨迹方程为
,轨迹是两条平行于x轴的线段;
②当
时,方程变形为
,其中
,
当
时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足
的部分;
当
时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足
的部分;
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆
分析:(I)写出圆的方程,利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值,利用椭圆的离心率公式得到a,c的关系,再利用椭圆本身三个参数的关系求出a,c的值,将a,b的值代入椭圆的方程即可.
(II)设出P的坐标,将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系,写出A,B的坐标,利用两点连线的斜率公式求出
k
1,k
2,将P的坐标的关系代入k
1k
2化简求出其值.
(III)设出M的坐标,求出P的坐标,利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示,通过对参数λ的讨论,判断出M的轨迹.
点评:求圆锥曲线的方程,一般利用待定系数法;解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般设出直线方程,将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数,得到关于一个未知数的二次方程,利用韦达定理,找突破口.注意设直线方程时,一定要讨论直线的斜率是否存在.