Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-b，g(x)=3a2lnx-2ax(其中a≠0)
（I）求函数g（x）的单调递增区间；
（II）若a＞0且函数f（x）与g（x）的图象有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出g′(x)=

-a(2x-3a)

x

，由参数a的符号不确定故需要分它的符号为正与为负两种情况讨论函数的单调增区间；
（II）求出两个函数的导数，函数f（x）与g（x）的图象有公共点，且在该点处的切线相同，故在切点处的导数相等，函数值相等，由此两等量关系建立方程寻求问题的求解．

解答：解：（I）g′(x)=

-a(2x-3a)

x

（1）当a＞0时，由g′(x)＞0?x＜

3

2

a，考虑到x＞0得g(x)的单调递增区间为(0，

3

2

a)
（2）当a＜0时，g'（x）＞0恒成立，故g（x）的单调递增区间是（0，+∞）
（II）设函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点（x₀，y₀）
又f′(x)=x，g′(x)=

3a2

x

-2a
由题意：

1 2 x 2 0 -b=3a2lnx0-2ax0，① x0= 3a2 x0 -2a，②

由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得b=

5

2

a2-3a2lna
设h(a)=

5

2

a2-3a2lna?h′(a)=2a(1-3lna)
考虑到a＞0，由h′(a)＞0?0＜a＜e

1

3

，由h′(a)＜0?a＞e

1

3

所以，h(a)在(0，e

1

3

]上单调递增，在[e

1

3

，+∞)上单调递减，
故a=e

1

3

时，h(a)即b
取得最大值

3

2

e

2

3

．…（8分）

点评：题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第一类，本题中第二小题考查了导数的几何意义，由于此题是一个存在性问题，首先由题设条件寻求两个参数的函数关系，再由导数研究b最大值，解题方向多次转换，思维量较大，运算较繁琐，题目难度较大．