Question

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M-EFG的体积．

Answer 1

解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD…（3分）
又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，
∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）
（2）∵EF∥CD，EF?平面EFG，CD?平面EFG，
∴CD∥平面EFG，
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，
∴V_M-EFG=V_D-EFG，
取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，
∵EF⊥平面PAD，EH?平面PAD，∴EF⊥EH
于是S_△EFH=EF×EH=2=S_△EFG，
∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形
∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）
因此，三棱锥M-EFG的体积V_M-EFG=V_D-EFG=×S_△EFG×=．…（12分）
分析：（1）由线面垂直的性质定理，证出CD⊥平面PAD．在△PCD中根据中位线定理，证出EF∥CD，从而EF⊥平面PAD，结合面面垂直的判定定理，可得平面EFG⊥平面PAD；
（2）根据线面平行判定定理，得到CD∥平面EFG，所以CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，得到三棱锥M-EFG的体积等于三棱锥D-EFG的体积．再由面面垂直的性质证出点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，算出△EFG的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-EFG的体积，即可得到三棱锥M-EFG的体积．
点评：本题给出底面为正方形的四棱锥，求三棱锥M-EFG的体积并证明面面垂直，着重考查了锥体体积的求法和空间线面平行、面面垂直等位置关系判定的知识，属于中档题．