Question

（2012•泸州二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

3

 b=2asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边同时除以sinB后，得到sinA的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用正弦定理得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，把a与sinA的值代入求出2R的值，进而表示出b和c，将表示出的b，c代入表示出b+c，并由A的度数，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用C表示出B，代入表示出的b+c，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后提取12，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据B的范围求出这个角的范围，可得出此时正弦函数的值域，进而确定出b+c的范围．

解答：解：（1）由

3

 b=2asinB得：

3

sinB=2sinAsinB，
又sinB≠0，
∴sinA=

3

2

，
由锐角△ABC得：A=60°；
（2）∵a=6，A=60°，设三角形外接圆的半径为R，
∴根据正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，又

a

sinA

=4

3

，
∴2R=4

3

，
∴b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，
又A=60°，∴B+C=120°，即C=120°-B，
∴b+c=4

3

(sinB+sinC)=4

3

(sinB+sin(120° -B))
=4

3

（sinB+sin120°cosB-cos120°sinB）
=4

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）
=6

3

sinB+6cosB
=12（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=12sin（B+30°），
∵△ABC为锐角三角形，
∴B∈（30°，90°），
∴B+30°∈（60°，120°）
∴

3

2

＜sin(B+30° )≤1，
∴b+c∈(6

3

 ， 12 ]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．