Question

16．三棱台ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=B₁C₁=a，BC=2a，AB₁与CC₁成45°角，D为BC中点，
（1）B₁D与平面ABC的位置关系如何？
（2）求三棱台的体积；
（3）求A₁C₁与平面AB₁C的距离．

Answer 1

分析 （1）由BC中点为D且B₁C₁=a，BC=2a，可得四边形DCC₁B₁为平行四边形，得到B₁D∥C₁C，又C₁C⊥平面ABC，可得B₁D⊥平面ABC；
（2）在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，求解直角三角形可得${B}_{1}D=AD=\sqrt{2}a$，再求出棱台上下底面的面积，可得三棱台的体积；
（3）由A₁C₁∥AC，可得A₁C₁∥平面AB₁C，再由已知可得CC₁⊥底面A₁B₁C₁，进一步得到CC₁⊥B₁C₁，则△B₁C₁C为直角三角形，然后证明面AB₁C⊥平面BCC₁B₁，在平面BCC₁B₁内过C₁作C₁G⊥B₁C，可得C₁G为A₁C₁与平面AB₁C的距离，然后通过面积相等求得A₁C₁与平面AB₁C的距离．

解答 解：（1）∵BC中点为D且B₁C₁=a，BC=2a，∴B₁C₁∥CD，B₁C₁=CD，
∴四边形DCC₁B₁为平行四边形，则B₁D∥C₁C，
∵C₁C⊥平面ABC，∴B₁D⊥平面ABC；
（2）在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，
∵AC=B₁C₁=a，BC=2a，∴${A}_{1}{C}_{1}=\frac{a}{2}$，
∵∠ACB=90°，∴$AD=\sqrt{2}a$，
又AB₁与CC₁成45°角，B₁D∥C₁C，
∴${B}_{1}D=AD=\sqrt{2}a$，
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×a×\frac{a}{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2a×a={a}^{2}$，
则${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{3}×{B}_{1}D×（{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}+\sqrt{{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•{S}_{△ABC}}+{S}_{△ABC}）$
=$\frac{1}{3}×$$\sqrt{2}a$×$（\frac{{a}^{2}}{4}+\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}•{a}^{2}}+{a}^{2}）$=$\frac{17\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$；
（3）∵A₁C₁∥AC，AC?平面AB₁C，
∴A₁C₁∥平面AB₁C，
∵棱CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥底面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥B₁C₁，则△B₁C₁C为直角三角形，
由题意AC⊥平面BCC₁B₁，可得面AB₁C⊥平面BCC₁B₁，
在平面BCC₁B₁内过C₁作C₁G⊥B₁C，垂足为G，
则C₁G为A₁C₁与平面AB₁C的距离，
在Rt△B₁C₁C中，∵B₁C₁=a，${C}_{1}C=\sqrt{2}a$，
∴${B}_{1}C=\sqrt{3}a$，
则${C}_{1}G=\frac{a•\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$．

点评 本题考查空间中的点、线、面间距离的计算，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．