(12分)已知如图(1),梯形中,,,,、分别是、上的动点,且,设()。沿将梯形翻折,使平面平面,如图(2)。
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(Ⅲ)当取得最大值时,求二面角的正弦值.
解析:(Ⅰ)∵平面平面,,∴平面,
∴
∵,
∴平面。
又平面,
∴平面平面. ……………………………………………………4分
(Ⅱ)∵平面,
∴………………………………………6
即时,有最大值. ………………………………………………8分
(Ⅲ)(方法一)如图,以E为原点,、、为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,,
设平面的法向量为,
则 ∴
设,则,,∴………………………………10分
平面的一个法向量为,
∴,……………………………11分
设二面角为,∴
∴二面角的正弦值为…………………………………………12分
(方法二)作于,作于,连
由三垂线定理知,
∴是二面角的平面角的补角.…………………………………9分
由∽,知,而,,,
∴
又,∴
在中,。
∴二面角的正弦值为…………………………………12分
科目:高中数学 来源:2011年湖南省长沙市一中高二上学期期末检测数学文卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头a指向①时,输出的结果为S=m,当箭头a指向②时,输出的结果为S=n,求m+n的值.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年辽宁省高三第五次模拟理数试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知如图(1),正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边上的点,且满足,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图(2).
(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大小;
(Ⅱ) 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为,求k的值.
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科目:高中数学 来源:2011年湖南省长沙市高二上学期期末检测数学文卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头a指向①时,输出的结果为S=m,当箭头a指向②时,输出的结果为S=n,求m+n的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分12分)已知如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E.
(1)求证:DE⊥PC;
(2)当PA//平面EDB时,求二面角E—BD—C的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
已知如图四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1,BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,点E在棱PD上,且DE=2PE.
(I)求异面直线PA与CD所成的角的大小;
(II)求证:BE⊥平面PCD;
(III)求二面角A—PD—B的大小.
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