Question

已知抛物线D的顶点是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点．（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线D的顶点是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合，设出抛物线方程，即可求得抛物线D的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（i）直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求|AB|；
（ⅱ） 设存在直线m：x=a满足题意，则圆心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²=(a-3)x1+4a-a2，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．…（1分）
椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中a²-b²=4-3=1，得c=1，∴抛物线的焦点为（1，0），
∴

p

2

=1，∴p=2，∴抛物线D的方程为y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）直线l的方程为：y=x-4，…（4分）
联立

y=x-4 y2=4x

，整理得：x²-12x+16=0…（5分）
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16
∴|AB|=

(1+1)2[(x1+x2)2-4x1x2

=4

10

．…（7分）
（ⅱ） 设存在直线m：x=a满足题意，则圆心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（9分）
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2…（11分）
当a=3时，|EG|²=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2

3

．…（12分）
因此存在直线m：x=3满足题意                        …（13分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解，属于中档题．