Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:

(1)x₀的值;

(2)a、b、c的值.

Answer 1

解法一:(1)由图象,可知在(-∞,1)上f′(x)＞0,在(1,2)上f′(x)＜0,在(2,+∞)上f′(x)＞0,故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减.因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x₀=1.

(2)f′(x)=3ax²+2bx+c,

由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,

得

解得a=2,b=-9,c=12.

解法二:（1）同解法一.

（2）设f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx²-3mx+2m,

又f′(x)=3ax²+2bx+c,

所以a=,b=-m,c=2m,

f(x)=x³-mx²+2mx.

由f(1)=5,即,得m=6,

所以a=2,b=-9,c=12.