Question

函数f（x）=Asin（ωx+

π

4

）（其中A＞0，ω＞0）的振幅为2，周期为π．
（1）求f（x）的解析式并写出f（x）的单调增区间；
（2）将f（x）的图象先左移

π

4

个单位，再将每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，求g（x）解析式和对称中心（m，0），m∈[0，π]．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数振幅和周期求出A，ω 的值即可求f（x）的解析式并写出f（x）的单调增区间；
（2）根据三角函数的平移关系求出g（x）的表达式，结合对称函数的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）由题可知：A=2且T=

2π

ω

=π解得ω=2，
则f（x）=2sin（2x+

π

4

）；…（5分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，（k∈Z）
故f（x）的单调增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）；…（10分）
（2）将f（x）的图象先左移

π

4

个单位，得到2sin[2（x+

π

4

）+

π

4

]=2sin（2x+

3π

4

）；
再将每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）=2sin（x+

3π

4

），
由x+

3π

4

=kπ，解得x=kπ-

3π

4

，k∈Z，
∵m∈[0，π]．
∴当k=1，得x=m=

π

4

，
即函数的对称中心（

π

4

，0），…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数图象的变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．