Question

在△ABC中，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

．若AB=

17

，则BC=

2

．

Answer 1

分析：由tanA的值大于0，且A为三角形的内角，根据同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由C=π-（A+B），利用诱导公式及两角和与差的正切函数公式化简tanC，把tanA和tanB的值代入求出tanC的值，由sinC，sinA及AB的长，利用正弦定理即可求出BC的长．

解答：解：∵tanA=

1

4

＞0，且A为三角形的内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 1+tan2A

=

17

17

，
又tanA=

1

4

，tanB=

3

5

，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，
∴sinC=

1-cos2C

=

1- 1 1+tan2C

=

2

2

，
又AB=

17

，
∴根据正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=

ABsinA

sinC

=

2

．
故答案为：

2

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正切函数公式，诱导公式，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．