Question

2．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x₀）=$\frac{1}{2}$，则f′（2x₀-$\frac{π}{6}$）=（　　）

• A． -$\frac{7}{8}$
• B． $\frac{7}{8}$
• C． -$\frac{7}{4}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 先化简f（x），得出sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，再求出f（x）的导数，得到f′（2x₀-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x₀-$\frac{π}{3}$），利用二倍角公式解出即可．

解答 解：f（x）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
若f（x₀）=$\frac{1}{2}$，则sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
而f′（x）=2cos（x-$\frac{π}{6}$），
∴f′（2x₀-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x₀-$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（x₀-$\frac{π}{6}$）=1-2×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{8}$，
故选：B．

点评 本题考查了导数的应用，考查三角函数、三角恒等变换问题，求出sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，得到f′（2x₀-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x₀-$\frac{π}{3}$）是解题的关键．