Question

13．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱$PC=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，推导出PD⊥AB，CD⊥AB，从而AB⊥平面PCD，进而PC⊥AB．
（Ⅱ）由已知推导出$AD=BD=CD=\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{2}$，$PD=\sqrt{6}$，从而CD⊥PD，进而CD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．

解答 证明：（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，（ 1分）
∵侧面PAB为等边三角形，AP=BP，
∴PD⊥AB，（2分）
又AC=BC，∴CD⊥AB．（3分）
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．（5分）
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．（6分）
（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴$AD=BD=CD=\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{2}$．（7分）
又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴$PD=\sqrt{6}$．（8分）
∵$PC=2\sqrt{2}$，∴PC²=CD²+PD²．
∴∠CDP=90°，∴CD⊥PD（9分）
∵CD⊥AB，∴CD⊥平面PAB，（11分）
∵CD?平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．（12分）

点评 本题考查线线垂直、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．