Question

（2003•崇文区一模）已知f（x）=log_a（x+

x2-1

），且0＜a＜1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求f（x）的反函数f^-1（x）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由对数式的真数大有0列不等式组求解；
（Ⅱ）由f（x）=log_a（x+

x2-1

），解出x，然后把x和y互换即可得到答案．

解答：（I）解：由

x+ x2-1 ＞0① x2-1≥0②

，
解②得x≤-1或x≥1，代入①验证得x≥1，
∴f（x）的定义域为[1，+∞）．
又x+

x2-1

≥x≥1，
∴f（x）的值域为（-∞，0]．
（II）解：设y=f（x）=log_a（x+

x2-1

）=loga(

1

x- x2-1

)，
∴

ay=x+ x2-1 a-y=x- x2-1

，两式相加，得x=

ay+a-y

2

因此，f（x）=log_a（x+

x2-1

）（x∈[1，+∞））的反函数是
f-1(x)=

ax+a-x

2

(x∈(-∞，0])．

点评：本题考查了函数定义域的求法，考查了函数的反函数的求法，关键是注明反函数的定义域，是中档题．