Question

17．已知离心率是$\sqrt{5}$的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y²=20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

Answer 1

分析 利用抛物线方程求出双曲线的焦点坐标，通过离心率求出a，然后求解b，即可求解双曲线方程．

解答 解：离心率是$\sqrt{5}$的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y²=20x的焦点重合，
可得c=5，$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，可得a=$\sqrt{5}$，则b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
所求的双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

点评 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．