Question

在平面直角坐标系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），f(x)=

AB

•

AC

．
（1）求f（x）的表达式和最小正周期；
（2）当0＜x＜

π

2

时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先计算两个向量

AB

和

AC

的坐标，再利用向量数量积运算性质计算f（x），将所得f（x）解析式化为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后利用周期公式计算f（x）的最小正周期即可
（2）先求内层函数y=2x-

π

4

的值域，再利用正弦函数的图象和性质求y=sin（2x-

π

4

）的值域，最后由y=2

2

t+4的单调性即可得f（x）的值域

解答：解：（1）∵A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），
∴

AB

=(-2，2)，

AC

=(-2+cos2x，sin2x)
∴f(x)=

AB

•

AC

=（-2，2）•（cos2x-2，sin2x）=4-2cos2x+2sin2x=2

2

sin(2x-

π

4

)+4，
∴f（x）═2

2

sin(2x-

π

4

)+4，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
（2）∵0＜x＜

π

2

∴-

π

4

＜2x-

π

4

＜

3π

4

∴-

2

2

＜sin(2x-

π

4

)≤1．
∴2＜f(x)≤4+2

2

．所以函数f（x）的值域是(2 ， 4+2

2

]．

点评：本题考察了向量数量积运算的性质和三角变换、三角函数的图象和性质，解题时要能熟练的将函数化为y=Asin（ωx+φ）形式，为利用三角函数的图象和性质求周期和最值创造条件