Question

已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（

π

4

，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个

π

2

单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=

2π

T

=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为(

π

4

，0)，φ∈（0，π），
故f（

π

4

）=sin（2×

π

4

+φ）=0，得φ=

π

2

，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移

π

2

个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-

π

2

）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）当x∈（

π

6

，

π

4

）时，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），
∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）内单调递增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（

π

6

，

π

4

）内存在唯一零点x₀，即存在唯一零点x₀∈（

π

6

，

π

4

）满足题意．
（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=-

cos2x

sinx

，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=-

cos2x

sinx

的解的情况．
令h（x）=-

cos2x

sinx

，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，令h′（x）=0，得x=

π

2

或x=

3π

2

，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，2π）
h′（x）	+	0	-	-	0	+
h（x）	↗	1	↘	↘	-1	↗

当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于-∞，
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于-∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当-1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a=1或a=-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，
∴依题意得n=671×2=1342．
综上，当a=1，n=1342，或a=-1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．