Question

如图，F为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）根据四边形OFPM是平行四边形，可知|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，根据双曲线定义可表示出|PM|，进而根据双曲线第二定义表示出离心率e，化简整理即可得到e和λ的关系式．
（2）当λ=1时，e=2，c=2a，b²=3a²，双曲线为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，根据四边形OFPM是菱形，求的直线OP的斜率，进而可知直线AB的方程代入到双曲线方程，进而表示出|AB|求得a，则b可得，进而可求得双曲线方程．

解答：解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是平行四边形，
∴|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+2×

a2

c

，
又e=

|PF|

|PH|

=

λ|OF|

c-2 a2 c

=

λc

c-2 a2 c

=

λc2

c2-2a2

=

λe2

e2-2

，e²-λe-2=0．

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，|PF|=|OF|．
∴c=2a，b²=3a²，双曲线为

x2

a2

-

y2

3a2

=1且平行四边形OFPM是菱形，
由图象，作PD⊥X轴于D，则直线OP的斜率为

PD

OD

=

C2- a4 C2

c- a2 c

=

15

3

，则直线AB的方程为y=

15

3

（x-2a），代入到双曲线方程得：
4x²+20ax-29a²=0，又|AB|=12，
由|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

，
得：12=

8 3

(5a)2+4× 29a2 4

，
解得a=1，
则b²=3，
所以x²-

y2

3

=1为所求．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线性质的综合掌握．