Question

3．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若$\frac{x}{y}$为整数，则ξ=0；若$\frac{x}{y}$为小于1的分数，则ξ=-1；若$\frac{x}{y}$为大于1的分数，则ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）数对（x，y）共有16种，利用列举法求出使$\frac{x}{y}$为整数的种数，由此能求出概率P（ξ=0）．
（2）随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使$\frac{x}{y}$为整数的有以下8种：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），
所以$P（ξ=0）=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$；
（2）随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，
ξ=-1有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
故$P（ξ=-1）=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，
ξ=1有以下2种：（3，2），（4，3），故$P（ξ=1）=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴P（ξ=0）=1-$\frac{3}{8}-\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	-1	0	1
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$

ξ的数学期望为$E（ξ）=-1×\frac{3}{8}+0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．