Question

1．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．
（1）在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；
（2）求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）存在满足条件的点P．在梯形ACDE内过C作CP⊥AE，垂足为P，则垂足P即为满足条件的点．由已知推导出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能证明CP⊥平面ABE．
（2）连接BP，则∠CBP为BC与平面ABE所成角，由此能求出直线BC与平面BAE所成角的余弦值．

解答 解：（1）存在满足条件的点P．在梯形ACDE内过C作CP⊥AE，垂足为P，则垂足P即为满足条件的点．
证明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
∴BA⊥平面ACDE，
又∵CP?平面ACDE，∴BA⊥CP．
由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE．
（2）连接BP，由（1）可知CP⊥平面ABE，P为垂足，
∴∠CBP为BC与平面ABE所成角θ．
在RT△APC中，∠PAC=60°，∠APC=90°，
∴PC=ACsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}AC$．
在RT△BAC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}AC$，
∴在RT△BPC中，∠BPC=90°，BC=$\sqrt{2}AC$，PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}AC$，
即sinθ=sin∠CBP=$\frac{CP}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AC}{\sqrt{2}AC}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，且0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{1-\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
故直线BC与平面BAE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查使得线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．