Question

3．已知f（x）=|x-a|-a，a∈R
（1）当a=-2时，解不等式：f（x）＜-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）若f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为9，求a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，利用绝对值不等式的解法进行求解即可．
（2）根据绝对值的应用转化为f（x）=0有两个根，求出方程的根，利用三角形的面积公式建立方程进行求解即可．

解答 解：（1）当a=-2时，由f（x）＜-$\frac{1}{2}$x+2，得|x+2|+2＜-$\frac{1}{2}$x+2，即|x+2|＜-$\frac{1}{2}$x，
所以：即$\frac{1}{2}$x＜x+2＜-$\frac{1}{2}$x，
则$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{\frac{1}{2}x＜x+2}\\{x+2＜-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x＞-4}\\{x＜-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得：-4＜x＜-$\frac{4}{3}$，
所以原不等式的解集为：（-4，-$\frac{4}{3}$）．
（2）由f（x）图象与x轴有公共点，则f（x）=0有两个根，即|x-a|=a，有两个根，
所以：a＞0；两个根分别为：x₁=0，x₂=2a，
而f（x）的图象与x轴围成的图形为等腰直角三角形，
所以：S=$\frac{1}{2}×2a•a=9$，解得：a=3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．考查学生的转化和运算能力．