Question

【题目】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)600

【解析】

（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由平面A1ACC1⊥平面ABC可得A1D⊥平面ABC，故∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角，解三角形可得∠A1AD=450即为所求．（Ⅱ）方法一：用几何法，作出两平面所成的二面角，解直角三角形可得所求角的大小．方法二：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，借助两法向量夹角求出二面角的大小．

（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，

∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC，

∴A1D⊥平面ABC，

∴∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角．

∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，

∴ ∠A1AD=450，

∴侧棱A1A与底面ABC所成角为450．　

（Ⅱ）解法一：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则有A1D⊥平面ABC，

由三垂线定理得A1E⊥AB，

∴ ∠A1ED是平面A1ABB1与平面ABC所成二面角的平面角.

由已知得AB⊥BC，所以ED∥BC.

又D是AC的中点，BC=2，AC=，

∴ DE=1，AD=A1D=，

在

∴∠A1ED=600，

∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．

（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）可知⊥平面ABC，于是以为原点，过点平行于BC、AB的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则.

设平面的法向量为，

由，得，

令，则，

∴．

又平面ABC的法向量为，

∴，

由图形得侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为锐角，

∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．