Question

数列{a_n}的首项为a1=

5

6

，以a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n≥2，且n∈N₊）都有根α、β，且α、β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：{an-

1

2

}是等比数列；           
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）记S_n为{a_n}的前n项和，对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由韦达定理，得α+β=

an

an-1

，且αβ=

1

an-1

（n≥2，且n∈N₊）． 代入3α-αβ+3β=1，整理构造出数列{an-

1

2

}再证是等比数列；  
（2）在（1）的基础上，先求数列{an-

1

2

}的通项公式，再得出{a_n}的通项公式
（3）由（2）可求得S_n=a₁+a₂+…+a_n=

n

2

+(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，只需λ≤(Sn-

n

2

)min=S1-

1

2

解答：解：（1）由α、β是方程a_n-1x²-a_nx+1=0的两根，得α+β=

an

an-1

，
且αβ=

1

an-1

（n≥2，且n∈N₊）．又由3α-αβ+3β=1得3（α+β）-αβ=1，
∴

3an

an-1

-

1

an-1

=1，整理得3a_n-1=a_n-1（n≥2）．
∴an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)（n≥2，且n∈N₊）．
∴{an-

1

2

}是等比数列，且公比q=

1

3

．    
（2）∵a1=

5

6

，∴a1-

1

2

=

1

3

，则an-

1

2

=

1

3

×(

1

3

)n-1，
即an=

1

2

+(

1

3

)n．    …（7分）
（3）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=

n

2

+(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)
=

n

2

+

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

n

2

+

1

2

(1-

1

3n

)，
∴Sn-

n

2

=

1

2

(1-

1

3n

)．又显然数列{Sn-

n

2

}是递增数列，
∴要使对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，
只需λ≤(Sn-

n

2

)min=S1-

1

2

=a1-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，
∴λ的取值范围是(-∞，

1

3

]．

点评：本题主要考查了利用递推关系 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及构造等比数列求数列的通项公式，分组数列的求和，不等式的恒成立问题的转化求最值，体现了转化思想的应用．