Question

如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，PA垂直于圆O所在平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F
求证：（1）BC⊥AF；
（2）平面AEF⊥平面PAB；
（3）AB=2，BC=

2

，PB=

6

，求三棱锥P-ABC的全面积．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA垂直于圆O所在平面，易得PA⊥BC，再由圆周角定理的推论可得AC⊥BC，结合线面垂直的判定字定理可得BC⊥平面PAC，进而由线面垂直的性质得到BC⊥AF；
（2）由已知BC⊥AF，AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，可得AF⊥平面PBC，进而得到AF⊥PB，结合AE⊥PB及线面垂直的判定定理可得PB⊥平面AEF，再由面面垂直的判定定理即可得到平面AEF⊥平面PAB；
（3）由已知中AB=2，BC=

2

，PB=

6

，我们求出各个面的面积，进而求出各个面积的和，即可得到答案．

解答：证明：（1）由题意可得：

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC ∴PA⊥BC

又AB是圆O的直径 ∴AC⊥BC

又AC，PA在平面PAC中交于A

∴BC⊥平面PAC 又AF?平面PAC ∴BC⊥AF

（2）由BC⊥AF，AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C
∴AF⊥平面PBC
又PB?平面PBC

∴AF⊥PB 又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A ∴PB⊥平面AEF 又PB?平面PAB ∴平面PAB⊥平面AEF

（3）∵AB=2，BC=

2

，PB=

6

，
∴AC=

2

，PA=

2

，PC=2
∴S_△ABC=1，S_△PAC=1，S△PAB=

2

，S△PCB=

2

∴S=2+2

2

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，棱锥的表面积，其中熟练掌握空间线面垂直、面面垂直、线线垂直之间关系的转化是解答本题的关键．