Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 = ．
（1）求角A的大小；
（2）当a=6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积最大时△ABC的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，

又sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，

∴sin（A﹣B）=sinB+sinC，

∴sin（A﹣B）=sinB+sin（A+B），

∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB+2cosAsinB=0，又sinB≠0，

∴ ，

∵A∈（0，π），

∴

（2）解：解法一：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得36=b2+c2+bc，

∵b2+c2≥2bc，

∴36=b2+c2+bc≥3bc，即bc≤12，

∴ ，

当且仅当 时，“=”成立，

∴△ABC面积的最大值为 ，此时△ABC为等腰三角形．

解法二：∴

= = ，

= ， ，

由正弦定理 ，

∴ ，

当 ，即 时， ，

∴△ABC面积的最大值为 ，此时△ABC为等腰三角形

【解析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得sinB+2cosAsinB=0，又sinB≠0，可得 ，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．（2）解法一：由余弦定理及基本不等式可得bc≤12，利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值，且可得△ABC为等腰三角形；解法二：由三角形面积公式，正弦定理，三角形内角和定理可得S= ， ，由正弦定理 ，可得R的值，从而利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值，即可判断△ABC为等腰三角形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．