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(2009•武昌区模拟)已知数列{an} 满足:a1=2,an+1=2(1+
1n
2an(n∈N+).
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)设bn=(An2+Bn+C)•2n,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切n∈N+都有an=bn+1-bn成立?说明你的理由;
(3)求证:a1+a2+…+an<(n2-2n+2)•2n+2
分析:(1)由已知可得
an+1
(n+1)2
=2•
an
n2
,从而可判断{
an
n2
}是公比为2的等比数列.利用等比数列通项公式可得an
(2)bn+1-bn=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2n.由an=bn+1-bn恒成立,得
A=1
4A+B=0
2A+2B+C=0
,解出可作出判断;
(3)由(2)知bn=(n2-4n+6)•2n,及an=bn+1-bn,可求得a1+a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1,结合不等式右边式子进行放缩可证明;
解答:解:(1)由已知an+1=2(
n+1
n
)2an
,得
an+1
(n+1)2
=2•
an
n2

则数列{
an
n2
}是公比为2的等比数列.
又a1=2,所以
an
n2
=2n,即an=2nn2
(2)∵bn+1-bn=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2n
若an=bn+1-bn恒成立,则
A=1
4A+B=0
2A+2B+C=0

解得
A=1
B=-4
C=6

故存在常数A,B,C,满足条件.
(3)由(2)知:bn=(n2-4n+6)•2n,an=bn+1-bn
∴a1+a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1
=(n2-2n+3)•2n+1-6<(n2-2n+3)•2n+1=(
n2
2
-n+
3
2
)•2n+2
=[(n2-2n+2)-
(n-1)2
2
-
(n-1)2
2
]•2n+2≤(n2-2n+2)•2n+2
点评:本题考查数列与不等式的综合、数列递推式,考查学生分析问题解决问题的能力,综合性强,难度较高.
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lim
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