分析:(1)由已知可得
=2•
,从而可判断{
}是公比为2的等比数列.利用等比数列通项公式可得a
n;
(2)b
n+1-b
n=[An
2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2
n.由a
n=b
n+1-b
n恒成立,得
,解出可作出判断;
(3)由(2)知
bn=(n2-4n+6)•2n,及a
n=b
n+1-b
n,可求得a
1+a
2+…+a
n=(b
2-b
1)+(b
3-b
2)+…+(b
n+1-b
n)=b
n+1-b
1,结合不等式右边式子进行放缩可证明;
解答:解:(1)由已知
an+1=2()2•an,得
=2•
,
则数列{
}是公比为2的等比数列.
又a
1=2,所以
=2
n,即
an=2n•n2.
(2)∵b
n+1-b
n=[An
2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2
n.
若a
n=b
n+1-b
n恒成立,则
,
解得
,
故存在常数A,B,C,满足条件.
(3)由(2)知:
bn=(n2-4n+6)•2n,a
n=b
n+1-b
n,
∴a
1+a
2+…+a
n=(b
2-b
1)+(b
3-b
2)+…+(b
n+1-b
n)=b
n+1-b
1=(n
2-2n+3)•2
n+1-6<(n
2-2n+3)•2
n+1=(
-n+
)•2
n+2=[(
n2-2n+2)--
]•2
n+2≤(n
2-2n+2)•2
n+2.
点评:本题考查数列与不等式的综合、数列递推式,考查学生分析问题解决问题的能力,综合性强,难度较高.